Força de Lorentz e Ampere

ÍNDICE
Introdução. 1
Força de Lorentz. 2
A DESCOBERTA DO ELÉTRON.. 2
O EFEITO HALL.. 3
MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO.. 4
FORÇA DO AMPERE.. 5
Motivação histórica. 5
Experimento de Oersted. 5
Determinação do campo magnético B.. 6
Aplicações. 7
Campo gerado por um cilindro condutor de raio R.. 7
Campo de um solenoide infinito. 7
Campo de um solenoide toroidal 8
Ilustração de um toróide de seção retangular 8
Conclusão. 9
Bibliografia. 10

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Introdução

No electromagnetismo, há uma lei que permite calcular o campo magnético a partir de uma distribuição de densidade de corrente elétrica ou de uma corrente elétrica, essa lei denomina-se Lei de Ampère.

A Força de Lorentz é a superposição da força elétrica, proveniente de um campo elétrico , com a força magnética, devida a um campo magnético , que atuam sobre uma partícula carregada elétricamente se movendo no espaço.

Portanto este trabalho visa abordar um tema que diz respeito à Força de Lorentz e Ampère.

Força de Lorentz

Geralmente os textos introdutórios sobre magnetismo iniciam com um histórico da descoberta do fenômeno, ocorrida na cidade de Magnésia, por volta do ano 121 DC. Tanto o Halliday-Resnick quanto o Sears-Zemanski fazem esse tipo de abordagem.

Do ponto de vista formal, devemos ter em mente que é impossível tratar cargas elétricas em movimento sem levar em consideração a existência do campo magnético. Veremos logo adiante que cargas em movimento criam um campo magnético. Por outro lado, havendo um campo magnético em determinada região do espaço, este exercerá uma força sobre uma carga em movimento.

Existem duas formas básicas de criação de um campo magnético. A primeira tem a ver com a descoberta do fenômeno; trata-se do campo de um ímã permanente. A segunda forma tem a ver com o campo criado por uma carga em movimento; trata-se do campo criado por uma corrente elétrica.

Não importa, para o momento, qual a fonte de criação, o que importa é que dado um campo magnético, B, este exerce uma força sobre uma carga, q, em movimento, dada por

F = qvxB onde v é a velocidade da carga. A força magnética é nula em duas circunstâncias:

Carga estacionária (v=0);

Velocidade paralela ao vetor campo magnético.
No caso geral, em que temos um campo elétrico, E, e um campo magnético, a força sobre uma carga em movimento é dada por
A força expressa é conhecida como força de Lorentz.

A DESCOBERTA DO ELÉTRON

A expressão foi usada por Thomson quando este realizava os trabalhos que resultaram na descoberta do elétron. Thomson usou um campo elétrico perpendicular a um campo magnético, para desviar o feixe de elétronsnumtubo de raios catódicos.

Joseph John Thomson (1856-1940), descobriu o elétron em 1897. Ganhou o Prêmio Nobel de física de 1906.
Pela eq. (8.2) vê-se que a força elétrica é perpendicular à força magnética. Controlando-se os parâmetros externos, E, B e v, é possível fazer

FE=FB eE=evB v=E/B.

A velocidade dos elétrons resulta da aceleração através de um potencial V, tal que

Das expressões acima, obtém-se

A razão entre a carga e a massa do elétron, ou de qualquer partícula carregada que penetre no tubo de raios catódicos, é calculada através de parâmetros controlados experimentalmente. Estes são ajustados de tal forma que o feixe permaneça em linha reta, isto é, de tal forma que a força elétrica equilibre a força magnética.~

O EFEITO HALLA expressão também permitiu a descoberta do efeito Hall que, como veremos, é extremamente útil na indústria microeletrônica.

A figura esquematiza o arranjo experimental para o estudo do efeito Hall. Tem-se uma fita condutora com seção reta A (=Ld) através da qual circula um feixe de elétrons com velocidade v.

Aplicando-se um campo magnético na direção horizontal, conforme indicado na figura, resulta numa força magnética na direção perpendicular ao movimento eletrônico, no sentido de cima para baixo. Esta força fará com que o movimento dos elétrons seja desviado para baixo. Com o tempo, cargas negativas acumulam-se na face inferior, e cargas positivas na face superior.

O excesso de cargas positivas e negativas, funciona como um capacitor de placas paralelas, com um campo elétrico conhecido como campo Hall. Chegará um momento em que a força Hall equilibra a força magnética,

qEH = qvB

Usando a eq. (6.3), J=nqv, e a definição da densidade de corrente, J=i/A, obtém-se

Por outro lado, EH = VH/d. Resulta daí que

A7

Tendo em conta que a seção reta é dada por A=Ld, obtém-se

O efeito Hall permite a obtenção de dois resultados importantes. Em primeiro lugar, é possível determinar o sinal da carga dos portadores, bastando medir a diferença de potencial entre as superfícies superior e inferior. Em segundo lugar, a eq. (8.4) fornece o valor da densidade de portadores.

Esses dois resultados são de extrema importância na indústria eletrônica, pois permite a fabricação de dispositivos que dependem do tipo (elétrons ou lacunas) e da quantidade de portadores.

MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO

A equção mostra que se a velocidade da partícula tiver a mesma direção do campo magnético, a força será nula, resultando nummovimento retilíneo uniforme. Por outro lado, se o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor campo magnético for diferente de zero, podemos decompor o vetor velocidade em duas direções: uma na direção de B, e outra perpendicular. Isto é,

A10

Portanto, o movimento de uma partícula, de massa m e carga q, numa região do espaço onde existe um campo magnético, é sempre composto de um movimento retilíneo uniforme e de um movimento circular. Este tipo de movimento é esquematizado na figura 8.3. Como se vê a força centrípeta, que proporciona o movimento circular, é igual à força magnética.

Assim, a partícula movimenta-se num círculo com raio

r = mv/qB (8.5a)

Da relação v=wr, obtém-se a velocidade angular
w = qB/m (8.5b)

Da relação w=2pf, obtém-se a freqüência

F = qB/2pm (8.5c)

e o período

T = 1/f = 2pm/qB (8.5d)

FORÇA DO AMPERE

No eletromagnetismo clássico, a lei de Ampère permite calcular o campo magnético a partir de uma distribuição de densidade de corrente elétrica

, ou de uma corrente elétrica , ambas estacionárias (independentes do tempo). A partir da Lei de Biot-Savart é possível calcular o campo magnético associado a uma distribuição estacionária de corrente somando-se as contribuições ao campo de todos os elementos elementos infinitesimais de corrente ao longo do circuito em questão. No caso de uma distribuição complicada de correntes o cálculo pode ser bastante trabalhoso e, em muitos casos, exigir o uso de um computador. Entretanto, se a distribuição possui algum tipo de simetria podemos usar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético total, o que facilita consideravelmente os cálculos. O nome da lei é um reconhecimento ao físico francês André-Marie Ampère que a descobriu em 1826.

Motivação histórica
Experimento de Oersted

Em 1819, o físico Dinamarquês Hans Christian Oersted, estudando a ação de uma corrente elétrica sobre um imã, colocou uma bússola (agulha imantada) perpendicular ao fio retilíneo por onde passava corrente, não observando qualquer efeito. Todavia, descobriu que quando colocada paralelamente ao fio a bússola sofria uma deflexão, acabando por orientar-se perpendicularmente a ela. Por conseguinte, uma corrente produz um campo magnético. Os resultados de Oersted foram usados pelo jovem físico André Marie Ampère para formular a Lei de Ampère2 . No caso de um fio retilíneo muito longo transportando corrente, as linhas de campo magnético são círculos em planos perpendiculares ao fio, e a a orientação de tais linhas pode ser obtida por meio da regra da mão direita.

Determinação do campo magnético B

Analogamente ao caso de um sistema elétrico com elevado grau de liberdade em que a utilização da Lei de Gauss simplifica enormemente a determinação do campo elétrico, a lei de Ampère pode ser usada para determinar B, numsistema de correntes estacionárias com alguma simetria. Uma vez que

A11, as linhas de força magnéticas são necessariamente fechadas (não existem monopólos magnéticos). Um exemplo são as linhas de forças circulares ao redor do fio retilíneo por onde passa uma corrente elétrica. O resultado da experiência de Ampère diz que a circulação de ao longo de uma curva C é proporcional à intensidade de corrente I que atravessa a curva (também denominada circuito amperiano). É importante destacar que isso só vale para correntes estacionárias. A lei de Ampère na forma integral pode ser escrita como:

A12

onde é a permeabilidade magnética no vácuo com um valor no Sistema Internacional de Unidades (SI):

A13

Esta lei também pode ser escrita na forma diferencial por meio do teorema de Stokes:

A14

onde é qualquer superfície cuja curva suporte seja C. Dado que tal igualdade entre integrais deve valer para qualquer superfície cuja curva suporte seja C, tem-se finalmente:

A15

Onde

A16 representa a corrente total que passa pela superfície da linha de contorno onde J a densidade de corrente elétrica.

AplicaçõesQuando a simetria do problema permite, é possível extrair o campo magnético para fora da integral de linha

A17

permitindo sua determinação via Lei de Ampère. Nas circunstâncias em que ela funciona, é de longe o método mais rápido; caso contrário, deve-se recorrer à Lei de Biot-Savart 3 . As configurações de corrente nas quais a Lei de Ampère pode ser aplicada são:

Linhas retas infinitas;
Planos infinitos;
Solenoides infinitos;
Toroides.

Campo gerado por um cilindro condutor de raio R

Temos uma distribuição de corrente com simetria cilíndrica. No caso de um condutor longo, retilíneo e delgado que transporta corrente elétrica I as linhas de campo magnético devem ser círculos concêntricos com o eixo do condutor. O módulo de B em todos os pontos do percurso de integração é tangencial à circunferência, portanto a integral de linha terá valor

A18, onde é o raio de uma circunferência imaginária. Considere

A19 de forma que densidade de corrente é

A20 De acordo com a Lei de Ampère:

A21

Logo, para

e usando coordenadas cilíndricas

A22

Já para

A23 temos o valor da corrente encerreda como o valor da corrente elétrica total

A24 de forma que:

A25
Campo de um solenoide infinito

Um solenoide é constituído por um enrolamento helicoidal de fio sobre um núcleo, geralmente com uma seção reta circular. É possível ter centenas ou milhares de espiras enroladas de forma compacta, de modo que cada espira se comporta como uma espira circular. As linhas de campo próximas do centro do solenoide são aproximadamente paralelas, indicando um campo magnético quase constante. Já na região externa ao solenoide, as linhas de campo são mais espaçadas, gerando um campo magnético mais fraco. O solenoide conduz uma corrente e possui espiras por unidade de comprimento. No caso de um solenóide infinito ou muito longo, o campo pode ser tomado como nulo fora do solenóide e uniforme na região interior.

Usando a Lei de Ampère temos:

A26

Onde:

é o comprimento do solenoide. O número de espiras para um dado comprimento L é nL Portanto, temos a corrente total da seguinte maneira:

A27 e o valor do campo fica:

A28

onde tomou-se o eixo

como paralelo ao eixo do cilindro.

Campo de um Solenoide ToroidalIlustração de um toróide de seção retangular

Um solenoide toroidal ou toroide é um solenoide que conduz uma corrente através de um enrolamento com espiras em torno de um núcleo em forma de rosca. Com uma aproximação idealizada, a simetria circular da configuração nos leva a concluir que as linhas de campo magnético são circunferências concêntricas com o eixo do toroide. Esta argumentação é válida porque consideramos o fluxo da corrente através da periferia do toroide desprezível. O campo magnético de um toroide está inteiramente confinado ao espaço no interior das espiras (o campo é zero fora do toroide).

Considere que o campo magnético seja tangente à circunferência e que a integral

A29 A corrente total que passa no interior delimitado pelo percurso é

A30 onde N é o número total de espiras do toroide. Então, de acordo com a Lei de Ampère temos:

A31

de forma que em coordenadas cilíndricas tem-se

A32

onde tomou-se como eixo z o eixo de simetria do toróide.

Conclusão

Após a compilação de colectanea das informações, concluiu-se que o primeiro relato em que se encontra a fórmula do que hoje chamamos de força de Lorentz data de 1864, quando o físico escocês James Clerk Maxwell apresentou um importante trabalho à RoyalSociety intitulado A DynamicalTheoryoftheEletromagnetic Field.

Constatou-se também que essas duas forças, influenciam muito nos cálculos do campo magnético. Do ponto de vista formal, devemos ter em mente que é impossível tratar cargas elétricas em movimento sem levar em consideração a existência do campo magnético.

No caso de uma distribuição complicada de correntes o cálculo pode ser bastante trabalhoso e, em muitos casos, exigir o uso de um computador. Entretanto, se a distribuição possui algum tipo de simetria podemos usar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético total, o que facilita consideravelmente os cálculos.

Bibliografia

Halliday, D. e Resnick, R. Fundamentos de Física,v.2,8a ed. GEN|LTC
Tese de José Edmar - USP, "Sobre a Força de Lorentz, Os Conceitos de Campo e a "Essência" do Eletromagnetismo Clássico.
H. MoysésNussenzveig, Curso de Física Básica, vol 3, Editora EdgardBlücher, LTDA (1999)

Internet: